Question

8．如图，已知在⊙O中，AB=3，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求出图中阴影扇形OBD的面积．

Answer 1

分析 （1）由∠A=30°，可求得∠BOC=60°，再根据垂径定理得∠BOD=120°，求出BF以及OB的长即可；
（2）由扇形面积公式求出阴影部分的面积即可．

解答 解：（1）∵AC⊥BD于F，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，∠OBF=30°，∠BOD=120°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
在Rt△BOF中，OB=$\frac{BF}{sin60°}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{3}$，
即⊙O的半径为$\sqrt{3}$；
（2）图中阴影扇形OBD的面积=$\frac{120π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=π．

点评 本题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质、三角函数、扇形面积的计算、以及圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由三角函数求出半径是解决问题的关键．