Question

2．已知正方形ABCD中，点M是边CB（或CB的延长线）上任意一点，AN平分∠MAD，交射线DC于点N．
（1）如图1，若点M在线段CB上
①依题意补全图1；
②用等式表示线段AM，BM，DN之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，若点M在线段CB的延长线上，请直接写出线段AM，BM，DN之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①根据题意可以将图形补充完整；
②根据①中补充完整的图形可以构造两个全等的三角形，从而可以得到线段AM，BM，DN之间的数量关系；
（2）写出线段AM，BM，DN之间的数量关系，仿照（1）中②的证明方法可以证明．

解答 解：（1）①补全图形，如右图1所示．
②数量关系：AM=BM+DN，
证明：在CD的延长线上截取DE=BM，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠1=∠B=90°，AD=AB，AB∥CD
∴∠6=∠BAN
在△ADE和△ABM中
$\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠1=∠B\\ DE=BM\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ABM（SAS）
∴AE=AM，∠3=∠2
又∵AN平分∠MAD，
∴∠5=∠4，
∴∠EAN=∠BAN，
又∵∠6=∠BAN，
∴∠EAN=∠6，
∴AE=NE，
又∵AE=AM，NE=DE+DN=BM+DN，
∴AM=BM+DN；
（2）数量关系：AM=DN-BM，
证明：在线段DC上截取线段DE=BM，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABM=∠ADE=90°，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴∠1=∠4，
又∵AN平分∠DAM，
∴∠MAN=∠DAN，
∴∠2=∠3，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ANE，
∴∠3=∠ANE，
∴AE=EN，
∵DN=DE+EN，AE=AM=EN，BM=DE，
∴DN=BM+AM，
即AM=DN-BM．

点评 本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，做出合适的辅助线，构造全等的三角形．