Question

2．如图1，已知抛物线y=ax²+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q（m，m-1）是抛物线上位于第一象限内的点，P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），经过点P分别作PD∥BQ交AQ于点D，PE∥AQ交BQ于点E．
①判断四边形PDQE的形状；并说明理由；
②连接DE，求出线段DE的长度范围；
③如图2，在抛物线上是否存在一点F，使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F和点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①作辅助线QH，利用勾股定理的逆定理求出∠AQB=90°，再根据两组对边分别平行可知：四边形PDQE是矩形；
②根据矩形的对角线相等得：PQ=DE，即PQ的范围就是DE的范围，当P与H重合时最小，当P与A重合时最大，由此得出线段DE的长度范围；
③有两种情况：一种：以AP为边的平行四边形APFC，如图3，得出P和F的坐标；
另一种：以AP为对角线的平行四边形AFPC，利用点C的坐标和抛物线的解析式求出点F的坐标，并相应求出点P的坐标．

解答 解：（1）把点A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y=ax²+bx+2中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）①四边形PDQE是矩形，理由是：
如图1，过Q作QH⊥AB于H，
把Q（m，m-1）代入y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}$x+2中得：
m-1=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m=2，
m²-m-6=0，
（m-3）（m+2）=0，
m₁=3，m₂=-2，
∵Q是第一象限上的点，
∴m＞0，
∴m=-2不符合题意，舍去，
∴Q（3，2），
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AH=4，QH=2，BH=1，
∴AQ=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BQ=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
AB=5，
∴AB²=AQ²+BQ²，
∴∠AQB=90°，
∵PD∥BQ，PE∥AQ，
∴四边形PDQE是矩形；
②如图2，连接PQ，
∵四边形PDQE是矩形，
∴PQ=DE，
当PQ⊥AB时，PQ最小，即DE最小，
此时PQ=2，即DE=2，
当点P在A时PQ最大，即PQ=AQ=2$\sqrt{5}$，
∴线段DE的长度范围是：2≤DE＜2$\sqrt{5}$；
③当以AP为边时，如图3，则它的对边为CF，
∵四边形APFC是平行四边形，
∴AP∥CF，
∴点C和点F的纵坐标相等为2，
∴F（3，2），
∴AP=CF=3，
∴P（2，0），
当以AP为对角线时，如图4，
可得F的纵坐标与点C的纵坐标互为相反数，即是-2，
当y=-2时，代入抛物线的解析式为：-2=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}x$+2，
x=$\frac{3±\sqrt{11}}{2}$，
∵点F在第三象限，
∴F（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2），
过F作FM⊥AB于M，则△PCO≌△AFM，
∴OP=AM，
∴OP=$\frac{\sqrt{41}-3}{2}$-1=$\frac{\sqrt{41}-5}{2}$，
则此时点P的坐标为（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0），
综上所述，F（3，2），P（2，0）或点F（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2），点P（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，解题时，涉及到了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理等知识点，综合性比较强，需要学生系统的掌握知识．