Question

14．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，∠AFG=90°，且FG交正方形的外角∠DCP的平分线CG于点G．
（1）求证：∠BAF=∠CFG；
（2）求证：△AEF≌△FCG；
（3）连接DE、DG，判定四边形DEFG是怎样的四边形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于∠AFG是直角，则∠BAF，∠CFG同为∠AFB的余角，由此得证；
（2）根据正方形的性质，易证得AE=FC，∠AEF=∠GCF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；
（3）由（2）证得△AEF≌△FCG，得到AF=FG，由△AED≌△ABF，得到DE=AF，∠1=∠3，根据互余角的关系得到两边平行的条件，然后根据一组对边平行且相等得到结论

解答 解：（1）证明：∵∠AFG=90°，
∴∠GFC+∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠GFC；

（2）证明：∵E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AE=BE=BF=CF，
∴∠AEB=135°，
∵CG是正方形的外角∠DCP的平分线，
∴∠FCG=135°，
在△AEF与△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CFG}\\{AE=CF}\\{∠AEF=∠FCG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△FCG；

（3）由（2）证得△AEF≌△FCG，
∴AF=FG，
在△AED与△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAB=∠B}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ABF，
∴DE=AF，∠1=∠3，
∴DE=FG，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴DE⊥AF，
∴DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形．

点评 此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等；综合性较强，难度适