Question

13．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作矩形ABCD，使AD=5
（1）求点A，点B的坐标；
（2）过点D作DH⊥x轴，垂足为H，说明：△AOB～△DHA；
（3）求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令直线y=-$\frac{3}{4}$x+6中x=0、y=0求出与之对应的y、x值，由此即可得出点B、A的坐标；
（2）根据DH⊥x轴，y轴⊥x轴即可得出∠AHD=∠BOA=90°，再根据矩形的性质结合角的运算得出∠OBA=∠HAD，由此即可证得△AOB～△DHA；
（3）根据相似三角形的性质即可得出$\frac{OB}{HA}=\frac{OA}{HD}=\frac{6}{8}$，再结合勾股定理以及AD=5即可求出HA、HD的长度，由此即可得出点D的坐标．

解答 解：（1）令y=-$\frac{3}{4}$x+6中x=0，则y=6，
∴B（0，6）；
令y=-$\frac{3}{4}$x+6中y=0，则x=8，
∴A（8，0）．
（2）∵DH⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴∠AHD=∠BOA=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠HAD=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OBA=∠HAD，
∴△AOB～△DHA．
（3）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∵△AOB～△DHA，
∴$\frac{OB}{HA}=\frac{OA}{HD}=\frac{6}{8}$，
∴$\frac{HA}{HD}=\frac{3}{4}$．
∵AD=5，且AD²=HA²+HD²，
∴HA=3，HD=4，
∴OH=OA+AH=11，
∴点D的坐标为（11，4）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标；（2）找出∠AHD=∠BOA=90°、∠OBA=∠HAD；（3）求出HA、HD的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．