Question

【题目】如图：一次函数 的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP.

（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；

（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）点P的坐标为(，)或(2，)．

【解析】

（1）令P点坐标为（x0，y0），根据三角形面积公式列出S△OPM关于x0的二次函数解析式，确定最大值，进而根据相似比求出当△OPM面积最大时AP的长即可；（2）将情况分为BO＝BP以及OP＝BP两种进行讨论：①当BO＝BP时，根据三角形相似求出MP的长，即P点的横坐标，将P点横坐标代入一次函数解析式，即可得到P点的坐标；②当OP＝BP时，如图，过点P作PM⊥OB于点N，根据等腰三角形的性质得到ON＝OB，ON的长即为P点的横坐标，将ON＝2代入一次函数解析式中即可求出P点的纵坐标.

（1）令点的坐标为，

轴，

将代入得

当时，的面积，有最大值，

即：，

，

即

直线分别交两坐标轴于点、，

，，

，，

，

；

（2）①在中，当时

，

，

，

将代入代入中，得

，；

②在中，当时，如图，

过点作于点

，

将代入中得，

点的坐标为，

即：点的坐标为，或．