Question

8．如图，点A（1，4），B（-4，a）在双曲线y=$\frac{k}{x}$图象上，直线AB分别交x轴，y轴于C、D，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，连接AF、BE交于点G．
（1）求k的值及直线AB的解析式；
（2）判断四边形ADFE的形状，并写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）将A的坐标代入反比例函数求得k的值，再根据反比例函数求得B的坐标，最后根据A、B的坐标求得直线解析式；（2）先根据A、B的坐标判断AE与DF的数量关系，再根据AE与DF的位置关系，判定四边形ADFE为平行四边形．

解答 解：（1）∵A（1，4）在双曲线y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴4=$\frac{k}{1}$，即k=4，
∴双曲线的解析式是y=$\frac{4}{x}$，
将B（-4，a）代入反比例函数，得a=-1，
∴B（-4，-1），
设直线AB的解析式为y=k'x+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{k'+b=4}\\{-4k'+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k'=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+3．
（2）四边形ADFE为平行四边形
证明：在y=x+3中，当x=0时，y=3，
∴D（0，3），即OD=3，
∵B（-4，-1），BF⊥y轴，
∴OF=1，
∴DF=3+1=4，
又∵A（1，4），AE⊥x轴，
∴AE=4，
∴AE=DF，
又∵AE∥DF，
∴四边形ADFE为平行四边形．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．在判定四边形的形状时，依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．