Question

11．如图，一次函数$y=-\frac{2}{3}x+2$的图象分别与x轴、y轴交于A、B，已线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°．
（1）分别求点A、C的坐标；
（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥x轴，易证∠OAB=∠ACD，即可证明△ABO≌△CAD，可得AD=OB，CD=OA，即可解题；
（2）作C点关于x轴对称点E，连接BE，即可求得E点坐标，根据点P在直线BE上即可求得点P坐标，即可解题．

解答 解：（1）作CD⊥x轴，

∵∠OAB+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，
在△ABO和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CDA=90°}\\{∠OAB=∠ACD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD（AAS）
∴AD=OB，CD=OA，
∵y=-$\frac{2}{3}$x+2与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，2），
∴点C坐标为（5，3）；

（2）作C点关于x轴对称点E，连接BE，

则E点坐标为（5，-3），将（0，2）（5，-3），代入y=ax+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{5a+c=-3}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴直线BE解析式为y=-x+2，
设点P坐标为（x，0），
则（x，0）位于直线BE上，
∴点P坐标为（2，0）．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABO≌△CAD是解题的关键．