Question

16．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必需使用黑色字迹的签字笔描黑）．
第一步，过点A用圆规和直尺作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D用三角板作AC的垂线，交AC的延长线于点E；
第三步，连接BD．
（2）求证：DE为⊙O的切线．
（3）若∠B=60°，DE=2$\sqrt{3}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图作AD平分∠CAB，然后根据几何语言画出DE和BD；
（2）连结OD，如图，证明AC∥OD，然后利用DE⊥AC得到DE⊥OD，再根据切线的判定方法得到DE为⊙O的切线；
（3）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠B=60°，然后在Rt△CDE中利用含30度的直角三角形三边的关系计算CE．

解答 （1）解：如图，

（2）证明：连结OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：∵∠B=60°，
∴∠DCE=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=2．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．