Question

13．已知关于x的方程（k-1）x²+4x+1=0；
（1）当k=-2时，求方程的解；
（2）若方程有实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将k=-2代入方程（k-1）x²+4x+1=0，即可求出方程的解；
（2）分类讨论：当k-1=0，即k=1，方程化为4x+1=0，有解；当k-1≠0，即k≠1，根据△的意义得△≥0，即4²-4×（k-1）×1≥0，解不等式组得k的范围，然后综合得到k的取值范围．

解答 解：（1）将k=-2代入方程（k-1）x²+4x+1=0，
得-3x²+4x+1=0，
解得x₁=$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，x₂=$\frac{2-\sqrt{7}}{3}$；

（2）当k-1=0，即k=1，方程化为4x+1=0，x=-$\frac{1}{4}$，
当k-1≠0，即k≠1，且△≥0，即4²-4×（k-1）×1≥0，解得k≤5，则k≤5且k≠1，
综上所述：k的取值范围是k≤5．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解法以及分类讨论思想的运用．