Question

4．已知，如图，△ABC是等边三角形，AB=4，点D是AC边上一动点（不与点A、C重合），EF垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD=x，AE=y．
（1）求∠EDF的度数；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH=1时，求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）易证△BEF≌△DEF，则有∠EDF=∠EBF=60°，由∠A=∠C=∠EDF=60°即可得到结论；
（2）由△AED∽△CDF可得DF=DF=$\frac{4x-xy}{y}$，CF=$\frac{4x-{x}^{2}}{y}$，然后利用DF+CF=BF+CF=BC=4就可解决问题；
（3）在Rt△AHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，运用三角函数可求得y=3-$\frac{1}{2}$x，从而有$\frac{8-{x}^{2}}{4+x}$=3-$\frac{1}{2}$x，解这个方程就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，

∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，FB=FD．
在△BEF和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DE}\\{BF=FD}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DEF（SSS），
∴∠EBF=∠EDF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠EDF=60°；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∵CD=x，AE=y，
∴AD=4-x，ED=EB=4-y．
∵△AED∽△CDF，
∴$\frac{ED}{DF}=\frac{AD}{CF}$=$\frac{AE}{CD}$，
∴$\frac{4-y}{DF}$=$\frac{4-y}{CF}$=$\frac{y}{x}$，
∴DF=$\frac{4x-xy}{y}$，CF=$\frac{4x-{x}^{2}}{y}$，
∵DF+CF=BF+CF=BC=4，
∴$\frac{4-xy}{y}$+$\frac{4x-{x}^{2}}{y}$=4，
整理得：y=$\frac{8x-{x}^{2}}{4+x}$（0＜x＜4）；

（3）如图2，

①H在线段AE上时，在Rt△AHD中，
∵AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，
∴cosA=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{y-1}{4-x}$=$\frac{1}{2}$，
∴y=3-$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{8-{x}^{2}}{4+x}$=3-$\frac{1}{2}$x，
整理得：x²-14x+24=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
∵0＜x＜4，
∴x=2，
②当H在线段BE上时，同理可求得x=9-$\sqrt{73}$
即CD的长为2或9-$\sqrt{73}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、三角函数、特殊角的三角函数值、解一元二次方程等知识，证到∠EDF=60°是解决第（1）小题的关键，运用相似三角形的性质求出DF和CF（用x、y的代数式表示）并利用DF+CF=4是解决第（2）小题的关键，在Rt△AHD中运用三角函数得到y与x的另一个关系是解决第（3）小题的关键．