Question

已知：函数y=ax²-（3a+1）x+2a+1（a为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；
（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）两点，与y轴相交于点C，且x₂-x₁=2．
①求抛物线的解析式；
②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,等腰直角三角形

专题：综合题

分析：（1）根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
（2）①函数与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）两点，则x₁，x₂，满足y=0时，方程的根与系数关系．因为x₂-x₁=2，则可平方，用x₁+x₂，x₁x₂表示，则得关于a的方程，可求，并得抛物线解析式．
②已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sin∠DCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得．

解答：解：（1）函数y=ax²-（3a+1）x+2a+1（a为常数），
若a=0，则y=-x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；
若a≠0且图象过原点时，2a+1=0，a=-

1

2

，有两个交点（0，0），（1，0）；
若a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：
△=（3a+1）²-4a（2a+1）=0，解得a=-1，有两个交点（0，-1），（1，0）．
综上得：a=0或-

1

2

或-1时，函数图象与坐标轴有两个交点．

（2）①∵函数与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）两点，
∴x₁，x₂为ax²-（3a+1）x+2a+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=

3a+1

a

，x₁x₂=

2a+1

a

，
∵x₂-x₁=2，
∴4=（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（

3a+1

a

）²-4•

2a+1

a

，
解得a=-

1

3

（函数开口向上，a＞0，舍去），或a=1，
∴y=x²-4x+3．
②∵函数y=x²-4x+3与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）两点，与y轴相交于点C，且x₁＜x₂，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵D为A关于y轴的对称点，
∴D（-1，0）．
根据题意画图，

如图1，过点D作DE⊥CB于E，
∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴△EDB为等腰直角三角形，
设DE=x，则EB=x，
∵DB=4，
∴x²+x²=4²，
∴x=2

2

，即DE=2

2

．
在Rt△COD中，
∵DO=1，CO=3，
∴CD=

DO2+CO2

=

10

，
∴sin∠DCB=

DE

CD

=

2 5

5

．

点评：本题考查了二次函数图象交点性质、韦达定理、特殊三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目．