Question

如图，已知双曲线y=-

1

x

与两直线y=-

1

4

x，y=-kx（k＞0，且k≠

1

4

）分别相交于A、B、C、D四点．
（1）当点C的坐标为（-1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（

 

，

 

），B（

 

，

 

），D（

 

，

 

）．
（2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当k为何值时，?ADBC是矩形．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,两点间的距离公式,一次函数的应用,平行四边形的判定与性质,矩形的判定

专题：综合题

分析：（1）由C坐标，利用反比例函数的中心对称性确定出D坐标，联立双曲线y=-

1

x

与直线y=-

1

4

x，求出A与B坐标即可；
（2）由反比例函数为中心对称图形，利用中心对称性质得到OA=OB，OC=OD，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证；
（3）由A与B坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，联立双曲线y=-

1

x

与直线y=-kx，表示出CD的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到AB=CD，即可求出此时k的值．

解答：解：（1）∵C（-1，1），C，D为双曲线y=-

1

x

与直线y=-kx的两个交点，且双曲线y=-

1

x

为中心对称图形，
∴D（1，-1），
联立得：

y=- 1 x y=- 1 4 x

，
消去y得：-

1

4

x=-

1

x

，即x²=4，
解得：x=2或x=-2，
当x=2时，y=-

1

2

；当x=-2时，y=

1

2

，
∴A（-2，

1

2

），B（2，-

1

2

）；
故答案为：-2，

1

2

，2，-

1

2

，1，-1；

（2）∵双曲线y=-

1

x

为中心对称图形，且双曲线y=-

1

x

与两直线y=-

1

4

x，y=-kx（k＞0，且k≠

1

4

）分别相交于A、B、C、D四点，
∴OA=OB，OC=OD，
则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；

（3）若?ADBC是矩形，可得AB=CD，
联立得：

y=- 1 x y=-kx

，
消去y得：-

1

x

=-kx，即x²=

1

k

，
解得：x=

1 k

或x=-

1 k

，
当x=

1 k

时，y=-

k

；当x=-

1 k

时，y=

k

，
∴C（-

1 k

，

k

），D（

1 k

，-

k

），
∴CD=

(- 1 k - 1 k )2+( k + k )2

=AB=

(-2-2)2+( 1 2 + 1 2 )2

=

17

，
整理得：（4k-1）（k-4）=0，
k₁=

1

4

，k₂=4，
又∵k≠

1

4

，∴k=4，
则当k=4时，?ADBC是矩形．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与反比例函数的交点，平行四边形，矩形的判定，两点间的距离公式，以及中心图形性质，熟练掌握性质是解本题的关键．