如图.A.B(0.2)两点关于x轴对称.点P为x轴正半轴上任意一点．点C在线段PB上.AC交x轴于点M.CD平分∠ACB交x轴于点D．(1)如图.若CB=CM.连BD．求证:BD=MD,的条件下.连接AD.若点N在线段AM上运动.且NE⊥PD于E.NF⊥AD于F．则在N点运动的过程中.NE+NF的值是否发生变化?若不变.请证明求值,若变化.请求出变化范围．(3)若点C在线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，A、B（0，2）两点关于x轴对称，点P为x轴正半轴上任意一点．点C在线段PB上，AC交x轴于点M，CD平分∠ACB交x轴于点D．
（1）如图，若CB=CM，连BD．求证：BD=MD；
（2）在（1）的条件下，连接AD，若点N在线段AM上（不含A、M点）运动，且NE⊥PD于E，NF⊥AD于F．则在N点运动的过程中，NE+NF的值是否发生变化？若不变，请证明求值；若变化，请求出变化范围．
（3）若点C在线段PB（不含P、B两点）运动，其余条件不变，OH∥CD分别交AC、PB于G，H，在C点的运动过程中，$\frac{AC-BH}{CG}$的值是否发生变化？若不变，证明并求值；若变化，请求出变化范围．

分析（1）直接判断△DCB≌△DCM即可得出结论；
（2）由对称得出BD=AD，结合（1）的结论得出AD=DM，最后用面积公式即可得出结论；
（3）先用△BCQ∽△BHO，得出$\frac{BC}{BH}=\frac{BQ}{BO}$①，再用角平分线定理得出$\frac{BC}{AC}=\frac{BQ}{AQ}$②，再用平行线分线段成比例定理即可得出$\frac{CG}{AC}=\frac{OQ}{AQ}$④，进而用这三个比例式即可得出结论．

解答解：（1）如图1，连接BD，
∵CD平分∠ACB交x轴于点D，
∴∠DCB=∠DCM，
在△DCB和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=CM}\\{∠DCB=∠DCM}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△DCM，
∴BD=MD，
（2）NE+NF的值是不发生变化，
理由：如图2，连接BD，DN，
∵A、B（0，2）两点关于x轴对称，
∴BD=AD，
由（1）知，BD=MD，
∴AD=MD，
∵NE⊥PD于E，NF⊥AD于F，
∴S_△ADM=S_△DMN+S_△DAN=$\frac{1}{2}$DM•NE+$\frac{1}{2}$AD•NF=$\frac{1}{2}$DM•NE+$\frac{1}{2}$DM•NF=$\frac{1}{2}$DM•（NE+NF），
∵OA⊥DM．
∴S_△ADM=$\frac{1}{2}$DM•OA，
∴$\frac{1}{2}$DM•（NE+NF）=$\frac{1}{2}$DM•OA，
∴NE+NF=OA，
∵B（0，2），
∴OB=2，
∵A、B（0，2）两点关于x轴对称，
∴OA=OB=2，
∴NE+NF=2．
即：NE+NF是定值，为2；
（3）$\frac{AC-BH}{CG}$的值是不发生变化，
理由：如图3，，∵A、B（0，2）两点关于x轴对称，
∴OA=OB=2，
∵OH∥CD，
∴△BCQ∽△BHO，
∴$\frac{BC}{BH}=\frac{BQ}{BO}$①
∵CD平分∠ACB交x轴于点D．
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BQ}{AQ}$②，
∴②÷①得，$\frac{BH}{AC}=\frac{BO}{AQ}$③，
∵OH∥CD，
∴$\frac{CG}{AC}=\frac{OQ}{AQ}$④，
∴③÷④得，$\frac{BH}{CG}=\frac{BO}{OQ}$⑤，
∴$\frac{AC-BH}{CG}$=$\frac{AC}{CG}-\frac{BH}{CG}$=$\frac{AQ}{OQ}$-$\frac{BO}{OQ}$=$\frac{AQ-BO}{OQ}$=$\frac{OA+OQ-BO}{OQ}$=1．
即：$\frac{AC-BH}{CG}$的值是定值，为1．