Question

13．如图，P为边长为6的正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），Q在CD上，且CQ=BP，连接AP、BQ，将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，延长QE交BA的延长线于点F．
（1）试探究AP与BQ的数量与位置关系，并证明你的结论；
（2）当E是FQ的中点时，求BP的长；
（3）若BP=2PC，求QF的长．

Answer 1

分析 （1）证明△ABP≌△BCQ，则∠BAP=∠CBQ，从而证明∠CBQ+∠APB=90°，进而得证；
（2）先由折叠得出∠CBQ=∠EBQ，再由垂直平分线得出∠EBQ=∠EBF，即可得出∠CBQ=30°，即可得出结论．
（3）设FQ=FB=x，则FE=x-4．在直角△FBE中，利用勾股定理即可列方程求解；

解答 解：（1）AP⊥BQ
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．
∴在△ABP和△BCQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCQ，
∴∠BAP=∠CBQ．
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CBQ+∠APB=90°，
∴∠BEP=90°，
∴AP⊥BQ；
（2）∵将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，
∴∠CBQ=∠EBQ，∠QEB=∠FEB=90°，
∵E是FQ的中点，
∴QE=FE，
∴∠QBE=∠FBE，
∴∠CBQ=∠EBQ=∠FBQ=$\frac{1}{3}$∠ABC=30°，
在Rt△BCQ中，tan∠CBQ=tan30°=$\frac{CQ}{BC}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{CQ}{6}$，
∴CQ=2$\sqrt{3}$，
由（1）知，△ABP≌△BCQ，
∴BP=CQ=2$\sqrt{3}$；
（3）由（1）可得EQ=CQ=BP=4，EB=BC=6．
又∵∠EQB=∠CQB=∠ABQ，
∴FQ=FB．
设FQ=FB=x，则FE=x-4．
在Rt△FBE中，FB²=BE²+FE²，
即x²=6²+（x-4）²，
解得：x=$\frac{13}{2}$，
即FQ=$\frac{13}{2}$；

点评 此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数，判断出FQ=FB是解本题的关键，利用直角三角形是解这类题目的关键．