Question

3．如图，∠BAN=∠CAD=90°，∠B=∠ACD，BN=CD，点C在BN上．

（1）当∠ANB=30°（如图1）时，∠DNB的度数是90°．
（2）当∠ANB≠30°（如图2）时，∠DNB的度数与（1）中的结果相同吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABN≌△ACD，得到AN=AD，AB=AC，∠ADC=∠ANB=30°，证得△AND是等边三角形，即可得到结论．
（2）由（1）得△ABN≌△ACD，得AB=AC，AN=AD．又因为∠1+∠2=∠2+∠3=90°，得到∠1=∠3，得出△ABC∽△AND，证出∠B=∠AND，问题即可得证．

解答 解：（1）在△ABN与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACD}\\{∠BAN=∠CAD}\\{BN=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ACD（AAS），
∴AN=AD，AB=AC，∠ADC=∠ANB=30°，
∴∠1=60°∠2=30°，
∴∠3=60°，
∴△AND是等边三角形，
∴∠AND=60°，
∴∠DNB=90°；

（2）相同，理由如下：
由（1）得△ABN≌△ACD，
得AB=AC，AN=AD．
又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ABC∽△AND，
∴∠B=∠AND，
∵∠B+∠ANB=90°，
故∠DNB=∠AND+∠ANB=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，找准△ABC∽△AND是解题的关键．