Question

1．如图，在直线y=-x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，连接PA、PB、PO，△POA面积是△POB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在直线y=-x+4上，是否存在M、N，使以B、M、N为顶点的三角形△OAB相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）分三种情况讨论即可求得；
（3）分三种情况，根据相似三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得即可．

解答 解：（1）∵直线y=-x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，
∴A（4，0），B（0，4），
把A（4，0），B（0，4）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线为y=-x²+3x+4；
（2）∵A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
设P（x，-x²+3x+4），
∵△POA面积是△POB面积的2倍，
∴2|x|=|-x²+3x+4|，
当P点在第一，三象限时，则2x=-x²+3x+4，解得x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴P（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，1+$\sqrt{17}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，1-$\sqrt{17}$）；
当P点在第二、四象限时，则-2x=-x²+3x+4，解得x=$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，
∴P（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-5）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，-5-$\sqrt{41}$）；
综上，点P的坐标为（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，1+$\sqrt{17}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，1-$\sqrt{17}$）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-5）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，-5-$\sqrt{41}$）；
（3）∵OA=OB=4，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
①当∠BMN=90°时，则BM=MN，如图①，
∴∠NBM=45°，
∴∠OBM=90°，
∴BM∥x轴，
∴M的纵坐标为4，
代入y=-x²+3x+4解得x=0或3，
∴M（3，4），
把x=3代入y=-x+4得y=1，
∴N（3，1）；
②当∠MBN=90°时，则直线BM的解析式为y=x+4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴M（2，6），
把x=2代入y=-x+4得y=2，
∴N（2，2）；
③当∠BNM=90°时，如图③，
∴∠NBM=45°，
∴∠OBM=90°，
∴BM∥x轴，
∴M的纵坐标为4，
代入y=-x²+3x+4解得x=0或3，
∴M（3，4），
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴N的横坐标为$\frac{3}{2}$，
代入y=-x+4得，y=$\frac{5}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
综上，N的坐标为（3，1）或（2，2）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，三角形相似的性质和等腰直角三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．