Question

13．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．观察并回答下列问题：
（1）其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，各面都没有涂色的小正方体有1个；
（2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有8个，各面都没有涂色的有（n-2）³个；
（3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体100个，那么至少应该将此正方体的棱7等分．

Answer 1

分析 （1）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上除去三面涂色的正方体的个数，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体；
（2）根据已知图形中没有涂色的小正方形个数得出变化规律进而得出答案；
（3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有（n-2）³个是各个面都没有涂色的，列方程即可得到结论．

解答 （1）如图②，把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有12个； 各面都没有涂色的有1个，故答案为：8，12，1； 

（2）根据正方体的棱三等分时三面被涂色的有8个，有1个是各个面都没有涂色的，
正方体的棱四等分时三面被涂色的有8个，有8个是各个面都没有涂色的，
∴正方体的棱n等分时三面被涂色的有8个，有（n-2）³个是各个面都没有涂色的，
故答案为：8，（n-2）³；

（3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有（n-2）³个是各个面都没有涂色的，
∴（n-2）³=100，∵4³＜100＜5³，
∴4＜n-2＜5，
∴6＜n＜7，∴至少应该将此正方体的棱7等分，
故答案为：7．

点评 主要考查了图形的变化类问题及立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律．