Question

5．已知：如图，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，过$\widehat{BC}$上的任意一点P作⊙O的切线与AB，AC分别交于点D，E．
（1）连接OD和OE，若∠A=50°，则∠DOE=65°；
（2）当点P在$\widehat{BC}$的何处时，PD=PE？为什么？

Answer 1

分析 （1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线长定理得到OD平分∠BOP，OE平分∠POC，计算即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BOD=∠COE，证明△BOD≌△COE，得到OD=OE，根据等腰三角形三线合一证明结论．

解答 解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，
∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，
∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，
∴OD平分∠BOP，
同理得：OE平分∠POC，
∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=$\frac{1}{2}$（∠BOP+∠POC）=$\frac{1}{2}$∠BOC=65°；
（2）当点P在$\widehat{BC}$的中点时，PD=PE，
∵P在$\widehat{BC}$的中点，
∴∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE，
∴OD=OE，又∠POD=∠POE，
∴PD=PE．

点评 本题考查的是切线长定理和切线的性质，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角是解题的关键．