Question

15．如图，E为正方形ABCD外一点，连接BE
（1）画出将线段BE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段；
（2）连接EA，ED，若EA=5，ED=4，∠AED=45°，请直接写出线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质作出B点和E的对应点B′和E′即可；
（2）先利用旋转的性质得AE=AE′=5，∠EAE′=90°，则可判断△AEE′为等腰直角三角形，所以EE′=$\sqrt{2}$AE=5$\sqrt{2}$，∠AEE′=∠AE′E=45°，则∠E′EB′=90°，然后利用勾股定理计算出B′E′，从而得到BE的长．

解答 解：（1）如图，B′E′为所作；
（2）∵AE绕点A逆时针旋转90°得到AE′，
∴AE=AE′=5，∠EAE′=90°，
∴△AEE′为等腰直角三角形，
∴EE′=$\sqrt{2}$AE=5$\sqrt{2}$，∠AEE′=∠AE′E=45°，
∵∠AED=45°，
∴∠E′EB′=45°+45°=90°，
在Rt△BEE′中，B′E′=$\sqrt{EE{′}^{2}+BE{′}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{66}$，
∴BE=$\sqrt{66}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质．