Question

5．已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C=180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD=DC．

Answer 1

分析 过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，由角平分线的性质可知DE=DF，则可证明△ADF≌△CDE，可证明AD=DC．

解答 证明：
如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DE=DF，∠F=∠DEC=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，且∠BAD+∠DAF=180°，
∴∠DAF=∠C，
在△ADF和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠C}\\{∠F=∠DEC}\\{DF=DE}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AD=CD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形利用角平分线的性质证得全等是解题的关键．