Question

【题目】如图，将一个三角板放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点．

（1）当点在边上时，过点作分别交，于点，，证明：；

（2）当点在线段的延长线上时，设、两点间的距离为，的长为．

①直接写出与之间的函数关系，并写出函数自变量的取值范围；

②能否为等腰三角形？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①．②能为等腰三角形，．

【解析】

（1）根据正方形的性质证明，即可求解；

（2）①根据题意作图，由正方形的性质可知当时，点在线段的延长线上，同理可得，得到MP=NQ，利用等腰直角三角形的性质可知MP=x，NC=CD-DN=1-x，CQ=y，代入MP=NQ化简即可求解；

②由是等腰三角形，∠PCQ=135°，CP=CQ成立，代入解方程即可求解 ，

（1）证明：∵在正方形中，为对角线，

∴，，∵，

∴，，

∴，

又∵，

∴．

∵，∴．

又∵，∴，

∴，

在中，

∵

∴，∴．

（2）①如图，点在线段的延长线上，

同（1）可证，

∴MP=NQ，

在等腰直角三角形AMP中，AP==x

∴MP=x=AM,

∴NC=BM=AB-AM=1-x

故NQ=NC+CQ=1-x+y

∴x=1-x+y

化简得

当P点位于AC中点时，Q点恰好在C点，又AP＜AC=

∴

∴与之间的函数关系是（）

②当时，能为等腰三角形，

理由：当点在的延长线上，CQ=，CQ=AC-AP=，

由是等腰三角形，∠PCQ=∠PCB+∠BCQ=45°+90°=135°，

∴CP=CQ成立，

即时，解得．