Question

如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，则四边形PQMN的形状为（　　）

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

Answer 1

分析：连接AC与BD，首先证得：△AEC≌△DEB，即可得到AC=BD，然后利用三角形的中位线定理证得四边形MNPQ的对边平行且相等，并且邻边相等，从而证得四边形MNPQ是菱形．

解答：解：连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
∴△AEC≌△DEB；
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=

1

2

AC，
同理可证得：NP=

1

2

DB，QP=

1

2

AC，MQ=

1

2

BD，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；
故选C．

点评：此题主要考查的是菱形的判定方法，能发现并构建出全等三角形，是解答本题的关键．