Question

14．某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）求证：DP=DQ；
（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．

Answer 1

分析 （1）证明△ADP≌△CDQ，根据全等三角形的性质可得DP=DQ；
（2）证明△DEP≌△DEQ，根据全等三角形的性质可得PE=QE；
（3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得S_△DEQ=$\frac{150}{7}$，而△DEP≌△DEQ，所以S_△DEP=S_△DEQ=$\frac{150}{7}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠DCQ=90°，AD=CD，
∵∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ．
在△ADP与△CDQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCQ=90°}\\{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ．

（2）猜测：PE=QE．
证明：由（1）可知，DP=DQ．
∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠QDE=45°，
在△DEP与△DEQ中，$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{∠PDE=∠QDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE=QE．

（3）解：∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，BP=2．
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE=QE．
设QE=PE=x，则BE=BC+CQ-QE=14-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP²+BE²=PE²，
即：2²+（14-x）²=x²，
解得：x=$\frac{50}{7}$，即QE=$\frac{50}{7}$．
∴S_△DEQ=$\frac{1}{2}$QE•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{50}{7}$×6=$\frac{150}{7}$．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S_△DEP=S_△DEQ=$\frac{150}{7}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，关键是正确把握证明三角形全等的方法，熟练证明三角形全等．