Question

10．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为（3，4）或（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）或（-$\frac{21}{25}$，$\frac{28}{25}$）．

Answer 1

分析 由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标．

解答 解：如图所示：
①∵OA=3，OB=4，
∴P₁（3，4）；
②连结OP₂，
设AB的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
故AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
则OP₂的解析式为y=$\frac{3}{4}$x，
联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{48}{25}}\\{y=\frac{36}{25}}\end{array}\right.$，
则P₂（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）；
③连结P₂P₃，
∵（3+0）÷2=1.5，
（0+4）÷2=2，
∴E（1.5，2），
∵1.5×2-$\frac{96}{25}$=-$\frac{21}{25}$，
2×2-$\frac{72}{25}$=$\frac{28}{25}$，
∴P₃（-$\frac{21}{25}$，$\frac{28}{25}$）．
故点P的坐标为（3，4）或（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）或（-$\frac{21}{25}$，$\frac{28}{25}$）．
故答案为：（3，4）或（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）或（-$\frac{21}{25}$，$\frac{28}{25}$）．

点评 本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，做这种题要求对全等三角形的判定方法熟练掌握．