Question

19．已知⊙O中弦AB⊥弦CD于E，tan∠ACD=$\frac{3}{2}$
（1）如图1，若AB为⊙O的直径，BE=8，求AC的长
（2）如图2，若AB不为⊙O的直径，BE=4，F为弧BC上一点，弧BF=弧BD，且CF=7，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据垂径定理求得CE=DE，根据圆周角定理得出∠ACD=∠ABD，从而得出$\frac{ED}{EB}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{2}$，即$\frac{ED}{8}$=$\frac{3}{2}$，求得CE=ED=12，根据tan∠ACD=$\frac{3}{2}$，求得AE=$\frac{3}{2}$CE=18，然后应用勾股定理即可求得AC．
（2）连接CB，过B作BG⊥CF于G，由弧BF=弧BD，得出∠BCE=∠BCG，根据AAS证得△CEB≌△CGB，从而求得BG=BE=4，CE=CG，根据圆内接四边形的性质得出∠BFG=∠A，从而求得△BFG∽△CAE，根据相似三角形对应边成比例得出$\frac{FG}{BG}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{2}$，求得FB=$\frac{3}{2}$BG=6，进而求得CE=CG=13，然后根据勾股定理即可求得AC的长．

解答 解：（1）如图1，连接BD，
∵直径AB⊥弦CD，
∴CE=DE，
∵∠ACD=∠ABD，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{ED}{EB}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{2}$，即$\frac{ED}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴ED=12，
∴CE=ED=12，
∴AE=$\frac{3}{2}$CE=18，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=6$\sqrt{13}$．
（2）连接CB，过B作BG⊥CF于G，
∵弧BF=弧BD，
∴∠BCE=∠BCG，
在△CEB和△CGB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠BCG}\\{∠BEC=∠BGC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$
∴△CEB≌△CGB（AAS），
∴BG=BE=4，
∵∠BFG=∠A，∠FGB=∠AEC=90°，
∴△BFG∽△CAE，
∴$\frac{FG}{BG}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{2}$，
∴FG=$\frac{3}{2}$BG=6，
∴CE=CG=13，
∴AC=$\frac{13}{2}$$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，（2）作出辅助线关键全等三角形是解题的关键．