Question

9．如图，在同一平面内∠ABC=45°，过点B的直线l⊥BC，点P为直线l上一动点．
（1）如图，连接PC交AB于点Q，若BP=2，BC=3，求$\frac{PQ}{CQ}$的值；
（2）如图，连接PC交AB于点Q，过点B作BD⊥PC于点D，当∠BPC=3∠C时，试判断线段BD与线段CQ的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，过C作CE⊥BC交AB于E，由∠ABC=45°，于是得到△BCE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CE=BC=3，推出△BPQ∽△ECQ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，过C作CH⊥AB交BD的延长线于H，交AB于G，由∠ABC=45°，得到△BCG是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到∠BCH=45°，BG=CG，由∠BPC=3∠BCP，∠BCP+∠BPC=90°，于是得到∠BCP=22.5°，推出∠HCP=∠BCH-∠BCP=22，5°=∠BCP，于是得到△BCH是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到BD=DH=$\frac{1}{2}$BH，即BH=2BD，推出∠HDQ=∠HGQ=90°，求得∠H+∠DQG=∠CQG+∠DQG=180°，得到∠H=∠CQG，根据全等三角形的性质得到CQ=BH，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过C作CE⊥BC交AB于E，
∵∠ABC=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC=3，
∵PB⊥BC，
∴PB∥CE，
∴△BPQ∽△ECQ，
∴$\frac{PQ}{CQ}=\frac{PB}{CE}=\frac{2}{3}$；

（2）如图2，过C作CH⊥AB交BD的延长线于H，交AB于G，
∵∠ABC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴∠BCH=45°，BG=CG，
∵∠BPC=3∠BCP，
∵∠BCP+∠BPC=90°，
∴∠BCP=22.5°，
∴∠HCP=∠BCH-∠BCP=22，5°=∠BCP，
∵BH⊥PC，
∴△BCH是等腰三角形，
∴BD=DH=$\frac{1}{2}$BH，即BH=2BD，
∴∠HDQ=∠HGQ=90°，
∴∠H+∠DQG=∠CQG+∠DQG=180°，
∴∠H=∠CQG，
在△BGH与△CQG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠CQG}\\{∠BGH=∠QGC}\\{BG=CG}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△CGQ，
∴CQ=BH，
∴CQ=2BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．