Question

19．提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上．连结AN，DM相交于点P，若AM=BN，求证：∠DPN=90°．
类比探究：
（2）如图2，在正五边形ABCDE中，点M，N分别在AB，BC上，连结AN，EM相交于点P，若AM=BN，试求出∠EPN的度数．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，由SAS证明△ADM≌△BAN，得出∠ADM=∠BAN，即可得出结果；
（2）由正五边形的性质得出AB=AE，∠EAM=∠ABN=108°，由SAS证明△AEM≌△BAN，得出∠AEM=∠BAN，由三角形的外角性质和三角形内角和定理求出∠APE的度数，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，
∴∠BAN+∠DAP=90°，
在△ADM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠DAM=∠ABN}&{\;}\\{AM=BN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAN（SAS），
∴∠ADM=∠BAN，
∴∠DPN=∠ADM+∠DAP=∠BAN+∠DAP=90°；
（2）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=108°，
在△AEM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}&{\;}\\{∠EAM=∠ABN}&{\;}\\{AM=BN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△BAN（SAS），
∴∠AEM=∠BAN，
∵∠APE=∠AME+∠BAN=∠AEM+∠AME=180°-108°=72°，
∴∠EPN=180°-72°=108°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、正五边形的性质；熟练掌握正方形和正五边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．