Question

4．如图，已知点A₁，A₂，A₃，…A_n，…是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…A_n-1A_n…=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…A_n，…作x轴的垂线交反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象于点B₁，B₂，B₃，B_n，…，过点B₂作B₂P₁⊥A₁B₁于点P₁，过点B₃作B₃P₂⊥A₂B₂于点P₂…，记△B₁P₁B₂的面积为S₁，△B₂P₂B₃的面积为S₂…，△B_nP_nB_n+1的面积为S_n，则S₁+S₂+S₂+…+S₂₀₁₅=$\frac{2015}{4032}$．

Answer 1

分析 由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知B₁点的坐标为（1，y₁），B₂点的坐标为（2，y₂），B₃点的坐标为（3，y₃）…B_n点的坐标为（n，y_n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y₁、y₂、y₃的值，再由三角形的面积公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n的值，故可得出结论．

解答 解：∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴设B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…B_n（n，y_n），
∵B₁，B₂，B₃…Bn在反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，
∴y₁=1，y₂=$\frac{1}{2}$，y₃=$\frac{1}{3}$…y_n=$\frac{1}{n}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×（y₁-y₂）=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$），
s₂=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），
S₃=$\frac{1}{2}$×1×（y₃-y₄）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）；
…s₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
∴S₁+S₂+S₃+…+s₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$-…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{2015}{4032}$．
故答案为：$\frac{2015}{4032}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．