Question

1．如图（1），在平面直角坐标系中，直线$y=\sqrt{3}x+6$与两坐标轴分别交于A、B两点，M为y轴正半轴上一点，⊙M过A、B两点，交x轴正半轴于点C，过B作x轴的平行线l，N点的坐标为（-12，5），⊙N与直线l相切于点D．
（1）求∠ABO的度数及圆心M的坐标；
（2）若⊙N以每秒1个单位的速度沿直线l向右平移，同时直线AB沿x轴负方向匀速平移，当⊙N第一次与⊙M相切时，直线AB也恰好与⊙N第一次相切，求直线AB每秒平移多少个单位长度？
（3）如图（2），P为直线l上的一个动点，过P作AB的垂线分别交线段BC、x轴于Q、R两点，过P作x轴的垂线，垂足为S（S在A点的左侧）．当P点运动时，BQ-AS的值是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求其值变化的范围．

Answer 1

分析 （1）由直线AB解析式可知A，B两点的坐标，在Rt△AOB中利用三角函数可求得∠ABO，设⊙M交y轴负半轴于点N，进一步可求得BN的长度，可求得M的坐标；
（2）由条件可求得⊙N的圆心移动的距离，可求得其移动的时间，进一步求出直线AB移动的距离，则可求得其平移的速度；
（3）由条件可证明CR=CQ，且∠PRS=30°，可求得PS及PR，SR的长度，且可证明△ABC为等边三角形，所以得出SA-BQ为定值．

解答 解：（1）直线$y=\sqrt{3}x+6$中令x=0，可得y=6，令y=0可得x=-2$\sqrt{3}$，
∴OA=2$\sqrt{3}$，OB=6，
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
如图1，连接MA，则MA=MB，且OM=OB-MB=6-MA，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AM²=AO²+（6-MA）²，
解得MA=4，则OM=2，所以M坐标为（0，2）；

（2）N点坐标为（-12，5），且D到x轴的距离等于OB，故⊙N的半径为1，
当⊙N与⊙M第一次相切时，即在y轴左边与⊙M相外切，
如图2，连接MN，过N作NE⊥x轴，过M作NE⊥NE，交于点E，

则由两圆相外切可知MN=4+1=5，NE=5-2=3，由勾股定理可求得ME=4，即此时N点的坐标为（-4，5），
所以⊙N的移动距离为-4-（-12）=8，其移动速度为每秒1个单位长度，所以⊙N移动的时间为8秒，
设直线AB移动后与x轴、y轴相交于点A′、B′，由题意可知直线A′B′为两圆的公切线，设切点为F，则FM=4，
在Rt△MFB′中，∠A′B′O=∠ABO=30°，所以MB′=2MF=8，所以OB′=2+8=10，
所以直线A′B′的解析式为y=$\sqrt{3}$x+10，令y=0可得x=-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，所以OA′=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
由（1）知OA=2$\sqrt{3}$，所以AA′=OA′-OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
其移动时间为8秒，所以其速度为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$÷8=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
即求直线AB每秒平移了$\frac{\sqrt{3}}{6}$个单位长度；
（3）在图1中，BO⊥AC，且BO过圆心M，
∴AO=OC=2$\sqrt{3}$=AB，且∠BAO=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AC=BC，
∵PR⊥AB，
∴∠BQC=∠CQR=30°，∠ARP=30°，
∴CR=CQ，
∴BQ=BC-CQ=AC-CR=4$\sqrt{3}$-CR，
∵PS⊥SR，
∴PS=OB=6，
∴PR=2PS=12，
在Rt△PSR中可求得SR=6$\sqrt{3}$，
∴SA=SR-AC-CR=6$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$-CR=2$\sqrt{3}$-CR，
∴BQ-SA=4$\sqrt{3}$-CR-（2$\sqrt{3}$-CR）=2$\sqrt{3}$，
∴BQ-AS的值不改变，其值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质及等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质的综合应用，在第（2）问中确定出直线AB移动的距离是解题的关键，在第（3）问中证明CQ=CR是解题的关键．