题目内容
16．如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．（1）由图1通过观察、猜想可以得到线段AC与线段BC的数量关系为AC=BC，位置关系为AC⊥BC
（2）保持图1中的△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线AD、BE在直线MN的同侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明（第一问中得到的猜想结论可以直接在证明中使用）；
（3）保持图2中的△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有DE=BE-AD关系．
分析 （1）根据矩形的性质及勾股定理，即可证得△ADC≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系；
（3）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系．
解答 解：（1）AC=BC，AC⊥BC，
在△ADC与△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠D=∠E=90°}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．
∵AB=2AD=DE，DC=CE，
∴AD=DC，
∴∠DCA=45°，
∴∠ECB=45°，
∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°．
∴AC⊥BC，
故答案为：AC=BC，AC⊥BC；
（2）DE=AD+BE．理由如下：
∵∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，
在△ACD与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠BEC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC+CE=BE+AD，
即DE=AD+BE．
（3）DE=BE-AD．理由如下：
∵∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，
在△ACD与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC-CE=BE-AD，
即DE=BE-AD，
故答案为：DE=BE-AD．
点评 本题考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
阅读快车系列答案
如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9平方厘米，△AOD的面积等于6平方厘米．