题目内容
2．在图1--图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM=$\frac{1}{3}$AD，点N是折线AB-BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为$\sqrt{13}$．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到
△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为1；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求$\frac{A′B}{A′N}$的值．
分析 （1）作NH⊥AB交AB的延长线于H，根据题意求出DM、AM，根据菱形的中心对称图形得到BN=DM=1，根据直角三角形的性质求出BH、NH，根据勾股定理计算；
（2）①根据直角三角形的性质计算；
②根据翻转变换的性质、菱形的判定定理进行证明；
③证明△A′DM∽△NBA′，根据相似三角形的性质计算即可．
解答 解：（1）
作NH⊥AB交AB的延长线于H，
∵AD=3，
∴DM=$\frac{1}{3}$AD=1，AM=2，
∵菱形的中心对称图形，MN过对角线AC与BD的交点，
∴BN=DM=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBH=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，NH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AN=$\sqrt{A{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案为：$\sqrt{13}$；
（2）①∵点A′落在AB边上，
∴MN⊥AA′，
∴AN=$\frac{1}{2}$AM=1，
故答案为：1；
②在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∵点A′落在对角线AC上，
∴MN⊥AC，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∴AM=AN，
由折叠的性质可知，AM=AN=A′M=A′N，
∴四边形AM A′N是菱形；
③∠A′=∠A=60°，
∴∠BA′N+∠DA′M=120°，又∠DMA′+∠DA′M=120°，
∴∠BA′N=∠DMA′，又∠A′DM=∠NBA′，
∴△A′DM∽△NBA′，
∴$\frac{A′B}{A′N}$=$\frac{DM}{MA′}$=$\frac{DM}{MA}$=2．
点评 本题考查的是菱形的判定和性质、翻转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的是一种轴对称、翻折前后的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为45°，已知楼高是120m，热气球若要飞越高楼，问至少要继续上升多少米？（结果保留根号）
如图，A，E，F，C在一条直线上，AF=CE，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=CD，求证：BF=DE．