已知在等腰△ABC中.AB=AC.在射线CA上截取线段CE.在射线AB上截取线段BD.连接DE.DE所在直线交直线BC与点M．请探究:.当点E在线段AC上.点D在AB延长线上时.若BD=CE.请判断线段MD和线段ME的数量关系.并证明你的结论．.当点E在CA的延长线上.点D在AB的延长线上时.若BD=CE.则(1)中的结论还成立吗?如果成立.请证明,如果不成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：

（1）如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
（3）如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）DM=EM；过点E作EF∥AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（2）成立；过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（3）MD=

ME．过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论．

解答：解（1）DM=EM．理由如下：
如图（1），

过点E作EF∥AB交BC于点F．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF∥AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中，

∠BDM=∠FEM

∠BMD=∠FME

BD=EF

，
∴△DBM≌△EFM（AAS），
∴DM=EM；

（2）成立．理由如下：如图（2），过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF∥AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中，

∠BDE=∠FEM

∠BMD=∠FME

BD=EF

，
∴△DBM≌△EFM（AAS）；
∴DM=EM；

（3）如图（3），过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：2，
∴MD=

ME．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高，平时加强训练．