Question

13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-4mx（m≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）过点B的直线l与y轴交于点C，且tan∠ACB=2，直接写出直线l的表达式；
（3）如果点P（x₁，n）和点Q（x₂，n）在函数y=mx²-4mx（m≠0）的图象上，PQ=2a且x₁＞x₂，求x₁²+ax₂-6a+2的值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B的坐标，再根据二次函数的性质即可求出抛物线的对称轴；
（2）分点C在y轴正半轴以及负半轴考虑，由tan∠ACB的值可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法，即可求出直线l的表达式；
（3）由点P、Q的纵坐标相同，可得出点P与点Q关于对称轴x=2对称，根据PQ=2a且x₁＞x₂，即可得出x₁=2+a、x₂=2-a，将其代入x₁²+ax₂-6a+2中，即可得出结论．

解答 解：（1）当y=mx²-4mx=mx（x-4）=0时，x₁=0，x₂=4，
∵点A在点B的左侧，
∴A点坐标为（0，0），B点坐标为（4，0）．
抛物线对称轴为直线：x=-$\frac{-4m}{2m}$=2．

（2）设直线l的表达式为y=kx+b（k≠0）．
当点C在y轴正半轴时，点C的坐标为（0，2），
将B（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
此时直线l的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+2；
当点C在y轴负半轴时，点C的坐标为（0，-2），
将B（4，0）、C（0，-2）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
此时直线l的表达式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
综上所述：直线l的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+2或y=$\frac{1}{2}$x-2．

（3）∵点P（x₁，n）和点Q（x₂，n）在函数y=mx²-4mx（m≠0）的图象上，
∴点P与点Q关于对称轴x=2对称．
∵PQ=2a，x₁＞x₂，
∴x₁=2+a，x₂=2-a，
∴x₁²+ax₂-6a+2=（2+a）²+a（2-a）-6a+2=6．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、解直角三角形、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标；（2）根据点B、C的坐标，利用待定系数法求出直线l的表达式；（3）由点P、Q坐标的特征结合PQ=2a，找出x₁=2+a、x₂=2-a．