Question

如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边，作等边△DCE，点B、E在CD的同侧．
（1）求∠BCE的大小；
（2）求证：BE=AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质得出AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°根据等边三角形的性质得出AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠EDC=60°，∠DAB=∠DBA=60°求出∠DAC=15°，∠DBC=15°，∠EDB=∠CDA，根据SAS推出△ADC≌△BDE，推出BE=AC=BC，∠EBD=∠CAD=15°即可；
（2）根据全等三角形的性质得出BE=AC即可．

解答：（1）解：∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°
∵△ABD和△DEC是等边三角形，
∴AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠EDC=60°，∠DAB=∠DBA=60°
∴∠DAC=60°-45°=15°，∠DBC=15°，∠EDB=∠CDA=60°-∠BCD，
在△ADC和△BDE中

AD=BD ∠ADC=∠BDE CD=DE

∴△ADC≌△BDE，
∴BE=AC=BC，∠EBD=∠CAD=15°，
∴∠BCE=∠BEC=

1

2

（180°-15°-15°）=75°；

（2）证明：∵△ADC≌△BDE，
∴BE=AC．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ADC≌△BDE．