Question

如图，⊙O是直角△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，弦BD=BA，BE垂直DC的延长线于点E，
（1）求证：∠BCA=∠BAD．
（2）求DE的长．
（3）求证：BE是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质由BD=BA得到∠BDA=∠BAD，再根据圆周角定理得∠BCA=∠BDA，然后利用等量代换即可得到∠BCA=∠BAD．
（2）先根据勾股定理计算出AC=13，再证明△BED∽△CBA，然后利用相似比计算DE；
（3）连结OB，由（1）得∠BCA=∠BAD，由圆内接四边形的性质得∠BCE=∠BAD，所以∠BCA=∠BCE，而∠BCO=∠CBO，则∠BCE=∠CBO，于是可判断OB∥ED，由于BE⊥ED，所以EB⊥BO，然后根据切线的判定定理得到BE是⊙O的切线．

解答：（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD；
（2）解：∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，
∴AC=

AB2+BC2

=13，
∵∠BDE=∠CAB，
而∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴

BD

AC

=

DE

AB

，即

12

13

=

DE

12

，
∴DE=

144

13

；
（3）证明：连结OB，如图，
∵∠BCA=∠BAD，
而∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质．