Question

把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，BC=

3

+1．斜边AB、DC相交于点O．

（1）求CO的长；
（2）若把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙），这时AB与CD₁相交于点O₁，此时，
求：CO₁的长；
（3）若把三角板D₁CE₁绕着点C顺时针再旋转15°得△D₂CE₂（如图丙），这时AB与CD₂相交于点O₂，此时，求：CO₂的长．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）过点O作OH⊥BC于点H．易知∠HOB=∠B，OH=HB，再求得∠COH=30°，根据直角三角形的性质得OC=2CH，再由三角函数的定义可得HB=OH=

3

CH．CH+

3

CH=

3

+1，求得CH的值，即可得OC；
（2）由题意知∠BCE₁=15°，可求得∠O₁CB=∠B．由三角形的内角和定理可得∠CO₁B=90°，再由三角函数的定义可得CO₁=BC•sin∠B；
（3）由于旋转角均为15°，且在乙图中CO₁⊥AB，所以CO₂与CO在这个旋转过程中关于直线CO₁成轴对称．由轴对称的性质得CO₂=CO=2．

解答：解：（1）过点O作OH⊥BC于点H．

在Rt△OHB中，∠HOB=90°-∠B=45°=∠B
∴OH=HB．
∵在Rt△DCE中，∠DCE=90°-∠D=60°
∴在Rt△OHC中，∠COH=90°-∠OCH
=90°-60°=30°
∴OC=2CH．
又∵OH=CH•tan∠OCH=

3

CH，
∴HB=OH=

3

CH．
又∵CH+HB=CB，
∴CH+

3

CH=

3

+1．
∴CH=1．
∴CO=2CH=2；
（2）∵∠BCE₁=15°
∴∠O₁CB=60°-15°=45°=∠B．
∴∠CO₁B=180°-（45°+45°）=90°
∴CO₁=BC•sin∠B=

2

2

(

3

+1)=

6

2

+

2

2

；
（3）从甲图到丙图的过程中，由于旋转角均为15°，且在乙图中CO₁⊥AB，所以CO₂与CO在这个旋转过程中关于直线CO₁成轴对称．
所以CO₂=CO=2．

点评：本题考查了旋转变换的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角函数的定义等知识，难度较大．