Question

9．已知：△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，F是DB上的一点，DF=AE，AG是∠BAC的角平分线，FH⊥AG垂足是H，FH、BC相交于I，求证：BI=CI．

Answer 1

分析 延长FH交AC的延长线于点M，作CN∥AB，交FM于点N，易证△AFH≌△AFM，得到∠M=∠AFH，AF=AM，由CN∥AB，得到∠CNM=∠AFH，∠B=∠ICN，则∠CNM=∠M，所以CM=CN，根据CM=AD-EC，BF=AD-DF，DF=CE=AE，得到BF=CN=CM，可证明△BFI≌△CIN，则BI=CI．

解答 证明：延长FH交AC的延长线于点M，作CN∥AB，交FM于点N，
∵AG是∠BAC的角平分线，FH⊥AG，
∴∠FAH=∠MAH，∠AHF=∠AHM=90°，
在△AFH和△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAH=∠MAH}\\{AH=AH}\\{∠AHF=∠AHM}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△AFM，
∴∠M=∠AFH，AF=AM，
∵CN∥AB，
∴∠CNM=∠AFH，∠B=∠ICN，
∴∠CNM=∠M，
∴CM=CN，
∵CM=AM-AC=AF-AC=AD+DF-AE-EC，DF=AE，
∴CM=AD-EC
∵BF=AB-AF=2AD-AD-DF=AD-DF，DF=CE，
∴BF=CN=CM，
在△BFI和△CIN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ICN}\\{∠BIF=∠CIN}\\{BF=CN}\end{array}\right.$，
∴△BFI≌△CIN，
∴BI=CI．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形并熟练运用全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．