Question

20．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=3$\sqrt{2}$，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD，PE，值△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段JK的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形；…依次进行下去，则第n个内接正方形的面积为$\frac{1}{{4}^{n-2}}$（n为正整数）．

Answer 1

分析 首先根据勾股定理得出BC的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长，再利用锐角三角函数的关系得出$\frac{EI}{KI}$=$\frac{PF}{EF}$=$\frac{1}{2}$，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AB=AC=3$\sqrt{2}$，
∴∠B=∠C=45°，BC=6，
∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；
∴EF=EC=DG=BD，
∴DE=$\frac{1}{3}$BC，
∴DE=2，
∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，
∴$\frac{EI}{KI}$=$\frac{PF}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴EI=$\frac{1}{2}$KI=$\frac{1}{2}$HI，
∵DH=EI，
∴HI=$\frac{1}{2}$DE=（$\frac{1}{2}$）^2-1×2，
第n个内接正方形的边长为：2×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
则第n个内接正方形的面积为$\frac{1}{{4}^{n-2}}$．
故答案为：$\frac{1}{{4}^{n-2}}$．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．