题目内容

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺（曲尺）MPN的直角顶点P在AD上滑动到某点（点P与点A、D不重合），射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．
（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）是否存在这样的点P使△DPC的周长等于△AEP周长的4倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由；
（3）在点P的运动过程中，点E能与点B重合吗？若能，求出重合时DP的长，若不能，说明理由；
（4）你认为线段FC的长有最大值吗？有最小值吗？（直接回答，不必说明理由）

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．

（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的4倍，得到两三角形的相似比为4，
∴ $\text{[math]}$ =4即 $\text{[math]}$ =4，
解得x=9，
此时DP=9；

（3）在点P的运动过程中，点E能与点B重合，
当B，E重合时，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，

∵∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：DP=2或8，
∴B，E重合时DP的长为2或8；

（4）∵当PC与CD越接近重合时，得出FC无限大，
∴线段FC的长没有最大值，
∵当P在AD中点时，FC最小，

∵∠EPC=90°，∴∠DPC+∠APE=90°，
∵∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠APE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△EAP∽△PDC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BE= $\text{[math]}$ ，
∵BF∥AP，
∴△EBF∽△EAP，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：BF= $\text{[math]}$ ，
∴FC=10- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴线段FC的长有最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE；
（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x，由△CDP∽△PAE知，求出DP即可．
（3）利用当B，E重合时，利用已知得出△ABP∽DPC，进而求出DP的长即可；
（4）利用当PC与CD越接近重合时，得出FC无限大，当P在AD中点时最小得出即可．
点评：此题考查了矩形的性质以及三角形的相似性质以及线段最值问题，根据已知得出假设当B，E重合时利用相似三角形的判定得出是解题关键．