Question

14．如图，直线AB的解析式为y=2x+5，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 在一次函数y=2x+5中，分别令x=0和y=0，解相应方程，可求得A、B两点的坐标，由矩形的性质可知EF=OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，由条件可证明△AOB∽△OPB，利用相似三角形的性质可求得OP的长，即可求得EF的最小值．

解答 解：∵一次函数y=2x+5中，令x=0，则y=5，令y=0，则x=-$\frac{5}{2}$，
∴A（0，5），B（-$\frac{5}{2}$，0）．
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴四边形PEOF是矩形，且EF=OP，
∵O为定点，P在线段上AB运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，
∵A（0，5），点B坐标为（-$\frac{5}{2}$，0），
∴OA=5，O B=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{OA}^{2}+{OB}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{（-\frac{5}{2}）}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴AB•OP=OA•OB，
∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{5×\frac{5}{2}}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．