Question

16．如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是BC上一点，DE⊥AB于E，∠ADF=90°，∠1=∠2，求证：DE=DC．

Answer 1

分析 根据余角的性质得到∠1=∠EDF，等量代换得∠EDF=∠2，由余角的性质得到∠ADC=∠ADE，推出△ADE≌△ADC，根据全等三角形的性质记得结论．

解答 解：∵DE⊥AB于E，∠ADF=90°，
∴∠1+∠AFD=∠EDF+∠EFD=90°，
∴∠1=∠EDF，
∵∠1=∠2，
∴∠EDF=∠2，
∵∠ADF=90°，
∴∠ADE+∠EDF=90°，∠ADC+∠2=90°，
∴∠ADC=∠ADE，
在△ADE与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠AED=90°}\\{∠ADC=∠ADE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=CD．

点评 本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．