Question

13．关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）上述方程的根x₁，x₂恰好是斜边为6的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出△=8m-16≥0，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=2（m+1）、x₁•x₂=m²+5，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有两个实数根，
∴△=[-2（m+1）]²-4（m²+5）=8m-16≥0，
解得：m≥2．
（2）∵x₁，x₂是方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两个根，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+5．
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6²，即m²+4m-21=0，
∴m=3或m=-7．
∵2（m+1）＞0，
∴m=3，
∴这个三角形的周长=6+x₁+x₂=14．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程有两个实数根找出△=8m-16≥0；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出m²+4m-21=0．