Question

20．已知抛物线y=x²-（m-2）x-$\frac{{m}^{2}}{4}$．
（1）求证：无论m取什么实数，抛物线总与x轴有两个不同交点；
（2）若抛物线与x轴两交点坐标为A（x₁，0），B（x₂，0），且满足|x₂|=|x₁|+2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△＞0即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知：

解答 解：（1）令y=0得：x²-（m-2）x-$\frac{{m}^{2}}{4}$=0，
△=$[-（m-2）]^{2}-4×（-\frac{{m}^{2}}{4}）$
=（m-2）²+m²
=（m-1）²+2≥2，
∴无论m取什么实数，抛物线总与x轴有两个不同交点；
（2）令y=0得：x²-（m-2）x-$\frac{{m}^{2}}{4}$=0，
由一元二次方程根与系数的关系可知：x₁+x₂=m-2①，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{{m}^{2}}{4}$②．
由①平方得：${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}$=（m-2）²，
∴${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=$（m-2）^{2}+\frac{{m}^{2}}{2}$③．
∵|x₂|=|x₁|+2，
∴|x₂|-|x₁|=2．
∴${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}-2|{x}_{1}{x}_{2}|=4$
∴$（m-2）^{2}+\frac{{m}^{2}}{2}-2×|-\frac{{m}^{2}}{4}|=4$．
整理得：（m-2）²=4．
∴m=4或m=0．

点评 本题主要考查的是二次函数与x轴交点的问题，将函数问题转化为方程问题是解题的关键．