Question

10．如图所示，在四边形ABCD中，BC=CD=10，∠B=∠C=120°，∠A=45°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 根据BC=CD，∠C=120°，那么△BCD的面积所需要的值可利用勾股定理求解，所以应连接BD，构造等腰三角形，同时根据∠B=120°以及等腰三角形的底角可得到△ABD是一个直角三角形，那么把四边形进行分割计算即可．

解答 解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，
∵BC=DC=10米，∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠ABD=90°，
∴CE=5米，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∵∠A=45°，
∴AB=BD=2BE=10$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，
=$\frac{1}{2}$AB•BD+$\frac{1}{2}$BD•CE，
=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×10$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×5$\sqrt{3}$=150+25$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理的运用，等腰三角形的性质以及对多边形面积的求法，解题的关键是通过作辅助线可将问题进行转化，两个直角三角形面积相减可即所求四边形的面积．