题目内容
如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横坐标为t．（1）线段AB与AC的位置关系是
（2）当t=2时，求CF的长；
（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；
（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据“线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C”推知AB与AC的关系；
（2）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=
OA=
t，由此求出CF的值；
（3）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；
（4）有三种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示；t=8时，如答图2所示；．
（2）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；
（4）有三种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示；t=8时，如答图2所示；．
解答：
解：（1）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，
∴AB=2AC，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
故答案是：AB=2AC，AB⊥AC；
（2）∵∠BAO+∠CAF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAF，
∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴
=
．
∵AB=2AC，
∴CF=
OA=
t．
当t=2时，CF=1；
（3）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴
=
，
∴AF=
OB=2，
∴FD=AF=2，．
∵点C落在线段BD上，
∴△DCF∽△DBO，
∴
=
，即
=
，
整理 得t2+4t-16=0
解得 t=2
-2或t=-2
-2（不合题意，舍去）
∴当t=2
-2时，点C落在线段BD上．
此时，CF=
t=
-1，
OF=t+2=2
，
∴点C的坐标为（2
，-1+
）；
（4）①当0＜t≤8时，如题图1所示：
S=
BE•CE=
（t+2）•（4-
t）=-
t2+
t+4；
②当t＞8时，如答图1所示：CE=CF-EF=
t-4
S=
BE•CE=
（t+2）•（
t-4）=
t2-
t-4；
③如答图2，当点C与点E重合时，CF=OB=4，可得t=OA=8，此时S=0．
解：（1）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，∴AB=2AC，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
故答案是：AB=2AC，AB⊥AC；
（2）∵∠BAO+∠CAF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAF，
∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴
| CF |
| OA |
| AC |
| AB |
∵AB=2AC，
∴CF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当t=2时，CF=1；
（3）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴
| AF |
| OB |
| AC |
| AB |
∴AF=
| 1 |
| 2 |
∴FD=AF=2，．
∵点C落在线段BD上，
∴△DCF∽△DBO，
∴
| CF |
| OB |
| DF |
| OD |
| ||
| 4 |
| 2 |
| t+4 |
整理 得t2+4t-16=0
解得 t=2
| 5 |
| 5 |
∴当t=2
| 5 |
此时，CF=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
OF=t+2=2
| 5 |
∴点C的坐标为（2
| 5 |
| 5 |
（4）①当0＜t≤8时，如题图1所示：
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
②当t＞8时，如答图1所示：CE=CF-EF=
| 1 |
| 2 |
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
③如答图2，当点C与点E重合时，CF=OB=4，可得t=OA=8，此时S=0．
点评：本题考查了坐标平面内几何图形的多种性质，是一道难度较大的中考压轴题．涉及到的知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转、平移、对称）等，非常全面；分类讨论的思想贯穿第（4）问．本题涉及考点众多，内涵丰富，对考生的数学综合能力要求较高．
练习册系列答案
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