Question

9．如图已知，四边形ABCD是正方形，点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上，PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．
求证：四边形PEFD是菱形．

Answer 1

分析 作PM⊥AG垂足为M，先证明四边形DCPM是矩形，再证明△ADF≌△MPG得DF=PG=PD=PE，由DF∥PE，DF=PD，得到四边形PEFD是平行四边形，再由PE=PD得出结论．

解答 证明：作PM⊥AG垂足为M，
∵DH⊥GP，
∴∠PMG=∠DHG=90°，
∵∠MPG+∠G=90°，∠G+∠HDG=90°
∴∠HDG=∠MPG，
∵∠ADF=∠HDH，
∴∠ADF=MPG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB=BC，∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠MDC=∠PMD=∠DCP=90°，
∴四边形DCPM是矩形，
∴CD=PM，
在△ADF和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠PMG}\\{AD=PM}\\{∠ADF=∠MPG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MPG，
∴DF=PG=PE，
∵EP⊥PG，FH⊥PG，
∴FH∥PE，
∵DF=PE，DF∥PE，
∴四边形PEFD是平行四边形，
∵PD=PG=PE，
∴四边形PEFD是菱形．

点评 本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．