Question

【题目】如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE＝DF，AF=AE，连结AD ．

求证：（1）∠FAD＝∠EAD；

（2）BD＝CD．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解．

【解析】

（1）根据BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF可直接得出AD是∠BAC的平分线，由角平分线的性质定理的逆定理，可知∠FAD=∠EAD；
（2）由DE=DF，AD=AD可知Rt△ADF≌Rt△ADE，可得出∠ADF=∠ADE，由对顶角相等可知∠BDF=∠CDE，进而可得出∠ADB=∠ADC，进而得△ABD≌△ACD，进而即可得到结论．

（1）∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF，

∴AD是∠BAC的平分线，

∴∠FAD=∠EAD；

（2）∵△ADF与△ADE是直角三角形，DE=DF，AD=AD，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），

∴∠ADF=∠ADE，

∵∠BDF=∠CDE，

∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE，即∠ADB=∠ADC，

在△ABD与△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD（ASA），

∴BD=CD．