Question

18．观察下面的变形规律：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{4}$，…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）计算：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$）×（$\sqrt{2016}+1$）

Answer 1

分析 （1）根据题意确定出一般性规律，写出即可；
（2）原式分母有理化后，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）原式=[（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$）]（$\sqrt{2016}$+1）
=（$\sqrt{2016}$-1）（$\sqrt{2016}$+1）
=（$\sqrt{2016}$）²-1²
=2016-1
=2015．

点评 此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化规律是解本题的关键．