Question

6．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 锐角三角形
• D． 不能唯一确定

Answer 1

分析 设△ABC中，∠A=30°，因为题意表述有一边是另一边的2倍，没有具体指出哪两条边，所以需要讨论：①a=2b，利用大边对大角的知识可得出∠B＜∠A，利用不等式可表示出C的角度范围；②b=2c，利用大边对大角的知识可得出∠C＜∠A，利用不等式可表示出B的角度范围；③c=2a，利用直角三角中，30°角所对的边等于斜边的一半，可判断∠C为90°．综合三种情况再结合选项即可做出选择．

解答 解：设△ABC中，∠A=30°，
①若a=2b，则∠B＜∠A（大边对大角），
∴∠C=180°-∠A-∠B＞180°-2∠A=120°，即∠C为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
②若b=2c，a²=b²+c²-2bccosA=5c²-2$\sqrt{3}$c²，$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=5-2$\sqrt{3}$＞1，可得a＞c，
∴∠C＜∠A（大边对大角），
∴∠B=180°-∠A-∠C＞180°-2∠A=120°，即∠B为钝角，
∴△ABC是钝角三角形；
③c=2a，在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，可得∠C=90°，即△ABC是直角三角形．
综上可得△ABC可为直角三角形、钝角三角形，不能为锐角三角形．
故选D．

点评 本题考查三角形的边角关系，解答本题需要掌握在三角形中“大边对应大角”，及直角三角形的性质：在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，难度较大，注意分类讨论．